前言
了解常微分方程的数值求解,有利于进行数值仿真。这部分是自己读研时候,自学《数值分析》与在进行机器人的动力学仿真时经常接触到的一项内容,简单的来说,对机器人进行动力学仿真的时候(不考虑柔性等),是求解常微分方程组(ODES)的过程(对于二阶乃至于高阶问题,都可以化成一阶来求解),有很多有趣的东西在里面。正好今天在MATLAB官网上看到了一些当年了解过的东西,想简要的对数值积分这部分内容做一点初步的介绍。
刚性问题
对于一些 ODE 问题,求解器采用的步长被强制缩小为与积分区间相比过小的级别,甚至在解曲线平滑的区域亦如此。这些步长可能过小,以至于遍历很短的时间区间都可能需要数百万次计算。这可能导致求解器积分失败,即使积分成功也需要花费很长时间。导致 ODE 求解器出现此行为的方程称为刚性方程。刚性 ODE 造成的问题是,显式求解器(例如 ode45)获取解的速度慢得令人无法忍受。这是将 ode45 与 ode23 和 ode113 一同归类为非刚性求解器的原因所在。专用于刚性 ODE 的求解器称为刚性求解器,它们通常在每一步中完成更多的计算工作。这样做的好处是,它们能够采用大得多的步长,并且与非刚性求解器相比提高了数值稳定性。
解算刚性 ODE
MATLAB拥有四个专用于刚性 ODE 的求解器,分别是：ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb,对于大多数刚性问题,ode15s 的性能最佳。但如果问题允许较宽松的误差容限,则 ode23s、ode23t 和 ode23tb 可能更加高效。在对机器人进行动力学等数值仿真的时候,大多数情况下会选择ode45或者是ode15s, 视问题的复杂度来看。数值仿真可以理解为自己写程序,得到数值解。
