• 反对称矩阵
• 角速度表示
• 空间角速度
• 空间旋转轴的表示方法
• 物体角速度的解释
• 更容易理解的推导
• 参考

在了解角速度这块的时候，有必要了解一些基础的知识；

反对称矩阵

$$A^T=-A$$

称其为反对称矩阵，将向量表示成反对称矩阵如下

$$[\omega]=\begin{bmatrix} 0 & -\omega_3 & \omega_2\\ \omega_3 & 0 & -\omega_1\\ -\omega_2 & \omega_1 & 0 \end{bmatrix}$$

后面用符号**[x]**来表示向量x的反对称矩阵，将所有的3*3反对称矩阵称为so(3), 其中so表示反对称矩阵，定义如下

$$so(n)=\left\{S\in\mathbb{R}^{n\times n}:S^T=-S\right\}$$

其中反对称矩阵so(3)称为SO(3)群的李代数，SO表示特殊正交（special orthogonal）的意思, 特殊在detR=+1,用于表示空间中的旋转矩阵，其SO的定义如下

$$SO(n)=\left\{R\in\mathbb{R}^{n\times n}:RR^T=I,\det R=+1\right\}$$

角速度表示

R可以表示空间中的旋转，那如果想知道空间旋转的角速度，是不是直接求导就行了？和他提出的疑问是一样的

姿态可以用旋转矩阵 $R$ 表示，但角速度不能直接简单地写成 $\dot{R}$，因为 $R$ 有 9 个元素，而角速度只需要 3 个量来描述。

当然不能直接求导，因为矩阵里面有9个变量，只希望用三个变量来表示角速度，我们知道，角速度可以通过一个旋转轴和对应的旋转速度来表示

空间角速度

这里假设了旋转轴为$\omega_s$ , 是一个相对于惯性坐标系，也可以称之为静止坐标系，为了单位的统一，这里可以假设旋转轴为单位旋转向量，其中单位向量的识别符为在上面加个帽子，即$\hat{\omega}_s$ ，用单位旋转轴乘以其速率，即可得到角速度向量$\omega_s$ ,即

$$\omega_s=\dot{\theta}\,\hat{\omega}_s$$

这样坐标系{b}在绕这个轴旋转时，其x轴方向将相对于s坐标系画一个圆，

不难得到，坐标系{b}的三个轴的速度可以表示为

$$\dot{x}_b=\omega_s\times x_b,\qquad \dot{y}_b=\omega_s\times y_b,\qquad \dot{z}_b=\omega_s\times z_b$$

利用括号运算符（表示叉乘）， 通过上式，就可以直接得到如下关系式了（比直接看机器人操作的数学导论更容易理解，那书中就直接定义了，也没给出解释，搞得有点懵）

$$\dot{R}_{sb}=\begin{bmatrix}\dot{x}_b&\dot{y}_b&\dot{z}_b\end{bmatrix}=[\omega_s]R_{sb}$$

空间旋转轴的表示方法

相对于s坐标系的旋转矩阵一般可以省略下标，通过以上推导，就不难得到第一个重要的公式，即

$$[\omega_s]=\dot{R}R^T$$

当然，这里给出的角速度是相对于空间坐标系的，当然可以相对于物体坐标系，通过下标对消规则，$\omega_b$ 可以表示为

$$\omega_b=R_{bs}\omega_s=R_{sb}^T\omega_s$$

下面得到第二个重要公式前，需要知道一个定理，即

$$R[\omega]R^T=[R\omega]$$

这样不难推导出第二个重要公式，即

$$[\omega_b]=[R^T\omega_s]=R^T[\omega_s]R=R^T(\dot{R}R^T)R=R^T\dot{R}$$

物体角速度的解释

值得注意的是：$\omega_b$并不是相对动坐标系的角速度；确切地说，$\omega_b$ 表示的是相对静坐标系{b}的角速度，{b}只是与运动刚体随动坐标系瞬时重合。另外还需要注意一点，这里无论对 $\dot{R}$ 左乘还是右乘 $R^T$ 都会得到有关角速度的一个反对称矩阵，只是相对的坐标系不同。

更容易理解的推导

根据坐标变换公式：

$$p_s=Rp_b$$

对上式左右同时求导:

$$\dot{p}_s=\dot{R}p_b+R\dot{p}_b$$

因为 p是附着在刚体上的, 所以p相对于刚体坐标系下的速度为0，故有

$$\dot{p}_s=\dot{R}p_b=\dot{R}R^{-1}p_s$$

可以看出 $\dot{R}$$R^{-1}$ 将点的位置变成了点的线速度。又有角速度和线速度的公式:

$$\dot{p}_s=[\omega_s]p_s$$

所以有空间角速度

$$[\omega_s]=\dot{R}R^{-1}=\dot{R}R^T$$

对于自己而言，这种方式推导出的结果，记忆效果最佳；

参考

[1] 现代机器人学

[2] 机器人学笔记——中科院软件所