转动的指数坐标表示
轴角解释
下面我们来介绍转动的三参数指数坐标表示。引人指数坐标,可以将旋转矩阵写成关于转轴(用单位向量表示)和转角
的参数化形式,向量
就是该转动的三参数指数坐标表示形式。单独来写
和
就是转动的轴-角(axis-angle)表示法。
旋转矩阵R的指数坐标表示 可以等效地解释如下。
• 单位转轴 和转角
。坐标系最初与{s}重合,然后绕单位转轴
旋转一定角度
,最终相对{s}的姿态表示成R。
• {s}中表示的。坐标系最初与{s}重合,然后在单位时间内运动
(即
在这一时间段的积分),最终姿态表示成R。
• {s}中表示的。坐标系最初与{s}重合,然后在单位时间内运动
(即
在这一时间段的积分),最终姿态表示成R。
刚体转动的指数坐标
刚体转动的指数坐标可以等效成:
1, 单位转轴与绕该轴线的转角;
2, 通过连乘得到的三维向量。
Rodrigues’s formula
给定向量
,
为任一标量, 而
为一单位向量,[
]
=[
]
so(3) 的矩阵指数为
通常也被称为罗德里格斯公式(Rodrigues’s formula)。
以上给出了当给定转轴 和转角
时,如何通过矩阵指数构造旋转矩阵。进而, 物理量
p 可看成对向量p
绕转轴
旋转角度
后的结果。
参考
[1] May 2017 preprint of Modern Robotics, Lynch and Park, Cambridge U. Press, 2017. http://modernrobotics.org