现代机器人学：刚体运动与运动旋量

齐次变换矩阵

同时考虑刚体的位置和姿态。一种自然的选择就是用旋转矩阵R∈SO(3)表示物体坐标系{b}相对固定坐标系{s}的姿态，用向量p∈ 表示{b}的坐标原点相对{s}的坐标。所采用的方法不是将它们两者分离，而是集成在一个矩阵中。

特殊欧氏群（special Euclidean group) SE(3)

特殊欧氏群(special Euclidean group)SE(3)亦称刚体运动(rigid-body motion）群或齐次变换矩阵（homogeneous transformation matrice）群，是所有4×4实矩阵T的集合，可以写成

式中，R∈SO(3),p∈为列向量。

如旋转矩阵一样，齐次变换矩阵T也有3种主要用途：

① 表示刚体的位形（位置和姿态）；

② 变换参考坐标系（用向量或坐标系来表示)：

③ 表示向量或坐标系的位移。

熟悉DH参数法建立运动学模型的对这块是非常熟悉了，所以就不介绍具体的示例了

运动旋量twist与旋量本身是两个东西，需要做一下区分，将运动旋量twist和时间系数的乘积定义为旋量，直观理解就是关于这个旋轴旋转了多少角度。旋量的矩阵形式通过指数运算就得到对应的位置变换矩阵；

用{s}和{b}分别代表固定（空间）坐标系和移动（物体）坐标系。不难得到有

同时两边进行求导，有

由于是固连{b}坐标系下的，所以其导数为0，不难得到有

从上面式子可以知道，可以将空间点变成空间速度，由此定义运动旋量

定义 twist V 为

在 twist 中，v 是作为角速度的一个补充，通过矩阵乘法来得到线速度，它与角速度是互相独立的，它本身并不是刚体的线速度。v的几何解释是刚体上位于原点处的一个点的线速度。刚体本身是围绕以单位角速度旋转的。