• 转动的指数坐标表示
  • 轴角解释
  • 刚体转动的指数坐标
    • Rodrigues’s formula
• 参考

转动的指数坐标表示

轴角解释

下面我们来介绍转动的三参数指数坐标表示。引人指数坐标，可以将旋转矩阵写成关于转轴（用单位向量$\hat{\omega}$表示）和转角$\theta$的参数化形式，向量$\hat{\omega}\theta \in \mathbb{R}^3$ 就是该转动的三参数指数坐标表示形式。单独来写$\hat{\omega}$ 和$\theta$就是转动的轴-角(axis-angle)表示法。

旋转矩阵R的指数坐标表示$\hat{\omega}$$\theta$ 可以等效地解释如下。

• 单位转轴$\hat{\omega}$ 和转角$\theta$。坐标系最初与{s}重合，然后绕单位转轴$\hat{\omega}$旋转一定角度$\theta$,最终相对{s}的姿态表示成R。

• {s}中表示的$\hat{\omega}$$\theta$。坐标系最初与{s}重合，然后在单位时间内运动$\hat{\omega}$$\theta$（即$\hat{\omega}$$\theta$ 在这一时间段的积分)，最终姿态表示成R。

• {s}中表示的$\hat{\omega}$。坐标系最初与{s}重合，然后在单位时间内运动$\hat{\omega}$（即$\hat{\omega}$ 在这一时间段的积分)，最终姿态表示成R。

刚体转动的指数坐标

刚体转动的指数坐标可以等效成:

1, 单位转轴$\hat{\omega}$与绕该轴线的转角;
2, 通过连乘得到的三维向量。

Rodrigues’s formula

给定向量 $\hat{\omega}\theta \in \mathbb{R}^3$，$\theta$ 为任一标量，而 $\hat{\omega}\in\mathbb{R}^3$ 为单位向量，$[\hat{\omega}]\theta=[\hat{\omega}\theta]\in so(3)$ 的矩阵指数为

$$\operatorname{Rot}(\hat{\omega},\theta) =e^{[\hat{\omega}]\theta} =I+\sin\theta[\hat{\omega}]+(1-\cos\theta)[\hat{\omega}]^2\in SO(3)$$

通常也被称为罗德里格斯公式(Rodrigues’s formula)。

以上给出了当给定转轴$\hat{\omega}$ 和转角$\theta$ 时，如何通过矩阵指数构造旋转矩阵。进而, 物理量 $e^{[\omega]\theta}$p 可看成对向量p $\in$$\mathbb{R}^3$ 绕转轴$\hat{\omega}$旋转角度$\theta$后的结果。

参考

[1] May 2017 preprint of Modern Robotics, Lynch and Park, Cambridge U. Press, 2017. http://modernrobotics.org