• 齐次变换矩阵
  • 齐次变换矩阵的用途
  • 运动旋量
  • Twist 的坐标系变换
• 参考

齐次变换矩阵

同时考虑刚体的位置和姿态。一种自然的选择就是用旋转矩阵R∈SO(3)表示物体坐标系{b}相对固定坐标系{s}的姿态，用向量p∈$\mathbb{R}^3$ 表示{b}的坐标原点相对{s}的坐标。所采用的方法不是将它们两者分离，而是集成在一个矩阵中。

特殊欧氏群（special Euclidean group) SE(3)

特殊欧氏群(special Euclidean group)SE(3)亦称刚体运动(rigid-body motion）群或齐次变换矩阵（homogeneous transformation matrice）群，是所有4×4实矩阵T的集合，可以写成

$$T=\begin{bmatrix} R & p\\ 0 & 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} & p_1\\ r_{21} & r_{22} & r_{23} & p_2\\ r_{31} & r_{32} & r_{33} & p_3\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

式中，R∈SO(3),p∈$\mathbb{R}^3$为列向量。

齐次变换矩阵的用途

如旋转矩阵一样，齐次变换矩阵T也有3种主要用途：

① 表示刚体的位形（位置和姿态）；

② 变换参考坐标系（用向量或坐标系来表示)：

③ 表示向量或坐标系的位移。

熟悉DH参数法建立运动学模型的对这块是非常熟悉了，所以就不介绍具体的示例了

运动旋量

运动旋量twist与旋量本身是两个东西，需要做一下区分，将运动旋量twist和时间系数的乘积定义为旋量，直观理解就是关于这个旋轴旋转了多少角度。旋量的矩阵形式通过指数运算就得到对应的位置变换矩阵；

用{s}和{b}分别代表固定（空间）坐标系和移动（物体）坐标系。不难得到有

$$p_s=T_{sb}p_b$$

同时两边进行求导，有

$$\dot{p}_s=\dot{T}_{sb}p_b+T_{sb}\dot{p}_b$$

由于 $p_b$ 是固连{b}坐标系下的，所以其导数为0，不难得到有

$$\dot{p}_s=\dot{T}_{sb}p_b=\dot{T}_{sb}T_{sb}^{-1}p_s$$

从上面式子可以知道， $\dot{T}T^{-1}$ 可以将空间点变成空间速度，由此定义运动旋量

$$[V_s]=\dot{T}T^{-1} =\begin{bmatrix} \dot{R}R^T & -\dot{R}R^Tp+\dot{p}\\ 0 & 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} [\omega_s] & v_s\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

定义 twist V 为

$$V=\begin{bmatrix}\omega\\ v\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\\v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}$$

在 twist 中，v 是作为角速度的一个补充，通过矩阵乘法来得到线速度，它与角速度是互相独立的，它本身并不是刚体的线速度。v的几何解释是刚体上位于原点处的一个点的线速度。刚体本身是围绕$\omega$ 以单位角速度旋转的。

Twist 的坐标系变换

因为有：

$$[V_s]=\dot{T}_{sb}T_{sb}^{-1}$$

所以：

$$[V_s]=T_{sb}[V_b]T_{sb}^{-1}$$

刚体坐标系下的 twist 矩阵为

$$[V_b]=T_{sb}^{-1}\dot{T}_{sb} =\begin{bmatrix} R^T\dot{R} & R^T\dot{p}\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

所以

$$[V_s]=T_{sb}[V_b]T_{sb}^{-1},\qquad V_s=\operatorname{Ad}_{T_{sb}}V_b$$

定义 T（{b} 在 {s} 里的位姿表示）的伴随表示：

$$T=\begin{bmatrix}R&p\\0&1\end{bmatrix},\qquad \operatorname{Ad}_{T}=\begin{bmatrix} R & 0\\ [p]R & R \end{bmatrix}$$

则

$$V_s=\operatorname{Ad}_{T_{sb}}V_b$$

$$V_b=\operatorname{Ad}_{T_{bs}}V_s=\operatorname{Ad}_{T_{sb}}^{-1}V_s$$

因为 screw axis 是单位 twist，所以变换公式也适用于 screw axis

参考

[1] <<机器人学笔记>> 许中兴, RISE 团队