傅里叶变换、拉普拉斯变换和 Z 变换常被分成三章来学，于是很容易只记住三套公式，却不知道它们为什么长得相似、什么时候应该换工具。

这篇笔记只围绕一条主线展开：

傅里叶变换观察“纯旋转”，拉普拉斯变换观察“带伸缩的旋转”，Z 变换把同一件事搬到了离散时间。

先把结论压缩成三句话：

• 傅里叶变换回答：信号里有哪些频率？各有多强、相位是多少？
• 拉普拉斯变换回答：给连续信号乘上指数权重后能否收敛？连续系统的暂态、初值和稳定性怎样？
• Z 变换是面向离散序列与差分方程的对应工具；在单位圆上观察 Z 变换，就是 DTFT。

文中的动画均在浏览器本地计算。可以拖动滑块，也可以暂停；不需要上传数据或加载第三方绘图库。

0. 先看全景图

最重要的两条“切片关系”是：

$$X_F(j\omega)=X_L(s)\big|_{s=j\omega}, \qquad \text{前提：拉普拉斯收敛域包含虚轴}$$

$$X_{\mathrm{DTFT}}(e^{j\Omega})=X_Z(z)\big|_{z=e^{j\Omega}}, \qquad \text{前提：Z 变换收敛域包含单位圆}$$

连续与离散之间，则由采样关系连接：

$$z=e^{sT}$$

其中 $T$ 是采样周期。

1. 它们为什么都使用复指数

欧拉公式把正弦与复平面旋转连在一起：

$$e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)$$

复指数不只是漂亮的记号。对线性时不变系统（LTI），在相应卷积收敛且讨论零状态响应时，它是特征函数：输入一个复指数，输出仍是同频率的复指数，只改变复数增益。

连续时间系统：

$$\mathcal H\{e^{st}\}=H(s)e^{st}$$

离散时间系统：

$$\mathcal H\{z^n\}=H(z)z^n$$

因此，在时域里比较麻烦的操作，进入变换域后会变简单：

这就是为什么电路的微分方程、机械系统的动力学方程和数字滤波器的递推式，最后都会变成关于 $s$ 或 $z$ 的代数式。

2. 傅里叶变换：用“旋转探针”找频率

采用本篇的角频率约定，连续时间傅里叶变换为：

$$X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,dt$$

逆变换为：

$$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}\,d\omega$$

可以把 $e^{-j\omega t}$ 想成一根反向旋转的探针：

• 探针频率和信号中的某个频率匹配时，那一部分会被“转停”，累积后得到较大的向量；
• 频率不匹配时，乘积仍在转，长时间累积后大多互相抵消；
• 向量长度给出强度，方向给出相位。

下面的实验使用有限观察窗，所以它计算的是有限时间相关量，而不是严格的无限区间积分。这也正好展示真实测量为何会出现有限分辨率与谱泄漏。

试着依次把探针调到 $1\ \mathrm{Hz}$、$2\ \mathrm{Hz}$ 和 $3\ \mathrm{Hz}$：双频信号在 1 Hz 最强、3 Hz 次之，而 2 Hz 附近会明显抵消。换成方波后，还会在 3 Hz、5 Hz 看到奇次谐波。

3. 拉普拉斯变换：先加指数权重，再做傅里叶分析

双边拉普拉斯变换定义为：

$$X(s)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-st}\,dt, \qquad s=\sigma+j\omega$$

把核函数拆开：

$$e^{-st}=e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}$$

于是：

$$X(\sigma+j\omega) =\mathcal F\{x(t)e^{-\sigma t}\}$$

这句话非常关键：拉普拉斯变换是一整族带指数权重的傅里叶变换。 这里选取的 $\sigma$ 必须位于拉普拉斯 ROC 内，右侧积分才收敛。

• $\omega$ 控制旋转速度，也就是频率；
• $\sigma$ 控制沿时间方向的指数加权；
• 改变 $\sigma$，一些原本不能直接做傅里叶积分的信号也可能收敛。

3.1 收敛域不是附加备注

考虑因果衰减信号：

$$x(t)=e^{-at}u(t),\qquad a>0$$

其拉普拉斯变换是：

$$X(s)=\int_0^\infty e^{-(s+a)t}\,dt =\frac{1}{s+a}, \qquad \operatorname{Re}(s)>-a$$

右侧条件就是收敛域（region of convergence，ROC）。因为 $a>0$ 时虚轴 $\sigma=0$ 位于 ROC 内，所以普通傅里叶变换存在：

$$X(j\omega)=\frac{1}{a+j\omega}$$

如果换成增长信号 $e^{at}u(t)$，拉普拉斯变换仍可在 $\operatorname{Re}(s)>a$ 的区域内存在，但虚轴不在 ROC 内，所以普通傅里叶积分不收敛。

因此，“令 $s=j\omega$ 就得到傅里叶变换”只说了一半；另一半是：必须先确认虚轴处在 ROC 中。

3.2 双边与单边拉普拉斯各管什么

• 双边拉普拉斯积分范围是 $(-\infty,\infty)$，适合讨论信号支撑、ROC、因果性与频谱关系；
• 单边拉普拉斯通常从 $0^-$ 积到 $\infty$，能自然带入初始条件，工程上常用来解电路和控制系统的初值问题。

例如：

$$\mathcal L_+\{\dot x(t)\}=sX(s)-x(0^-)$$

初值不是“消失了”，而是明确进入了代数方程。

4. Z 变换：离散时间中的伸缩与旋转

双边 Z 变换定义为：

$$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}$$

令 $z=re^{j\Omega}$，则：

$$X(re^{j\Omega}) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]r^{-n}e^{-j\Omega n}$$

也就是说，半径 $r$ 负责指数权重，角度 $\Omega$ 负责离散旋转。令 $r=1$，在 ROC 包含单位圆的前提下，就得到 DTFT：

$$X(e^{j\Omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\Omega n}$$

4.1 最简单、也最重要的 Z 变换对

对于：

$$x[n]=a^n u[n]$$

有：

$$X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a^nz^{-n} =\frac{1}{1-az^{-1}}, \qquad |z|>|a|$$

• 若 $|a|<1$，序列衰减，单位圆位于 ROC 内，DTFT 存在；
• 若 $|a|>1$，序列增长，Z 变换仍可能存在，但单位圆不在 ROC 内，普通 DTFT 不存在。

同一个代数式还可能对应左边序列：

$$-a^n u[-n-1], \qquad |z|<|a|$$

所以真正完整的答案不是只有 $X(z)$，而是 $X(z)$ 加 ROC。ROC 帮助判断序列是右边、左边还是双边，并决定单位圆上的 DTFT 是否存在；若 $x[n]$ 是系统冲激响应，还需结合时移与系统假设判断因果性及频率响应。

4.2 DTFT、DFT 与 FFT 不要混为一谈

对于截取到的 $N$ 个样本，DFT 为：

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}, \qquad k=0,1,\ldots,N-1$$

它可以理解为：先把长度为 $N$ 的有限序列做 DTFT，再在单位圆上等角度取 $N$ 个样点：

$$X[k]=X_{\text{windowed DTFT}}\left(e^{j2\pi k/N}\right)$$

• DTFT 是关于连续角度 $\Omega$ 的周期函数；
• DFT/IDFT 变换对对应长度为 $N$ 的周期延拓；在 DFT 域相乘，对应时域循环卷积；
• FFT 只是高效计算 DFT 的算法，不是第四种新变换。

5. 连续与离散的桥：为什么是 z = e^(sT)

连续模态 $e^{st}$ 按周期 $T$ 采样：

$$e^{st}\big|_{t=nT}=e^{sTn}=\left(e^{sT}\right)^n$$

因此自然得到：

$$z=e^{sT}$$

若 $s=\sigma+j\omega$：

$$|z|=e^{\sigma T}, \qquad \arg z=\omega T\pmod{2\pi}$$

这给出一张非常有用的稳定性地图：

• $\sigma<0$ 的左半 $s$ 平面映射到 $|z|<1$；
• $\sigma=0$ 的虚轴映射到单位圆；
• $\sigma>0$ 的右半 $s$ 平面映射到 $|z|>1$；
• $s$ 平面中相差 $j2\pi/T$ 的点映射到同一个 $z$ 点；等价地，连续角频率相差 $2\pi/T$ 时会得到同一个离散角度。

这里还有一个很容易踩的坑：$z=e^{sT}$ 精确描述了连续状态模态或状态矩阵特征值的采样映射；在模态可控、可观且没有被抵消时，它们才表现为离散传递函数极点。这个关系不等于“把任意 $H(s)$ 中的 $s$ 直接替换成 $\ln z/T$ 就完成数字化”。零阶保持、冲激响应不变法和双线性变换会得到不同的零点、增益与频率扭曲，必须根据实际输入保持方式和设计目标选择。

6. 极点、单位圆与频率响应

对于有理系统：

$$H(s)=K\frac{\prod_i(s-z_i)}{\prod_k(s-p_k)}, \qquad H(z)=K\frac{\prod_i(z-z_i)}{\prod_k(z-p_k)}$$

当系统冲激响应的 ROC 分别包含虚轴或单位圆时，连续系统沿 $s=j\omega$ 看频率响应，离散系统沿 $z=e^{j\Omega}$ 看频率响应。几何上，响应幅值由观察点到零点、极点的距离决定：

$$|H(e^{j\Omega})| =|K|\frac{\prod_i|e^{j\Omega}-z_i|} {\prod_k|e^{j\Omega}-p_k|}$$

• 扫频点靠近零点，响应被压低；
• 扫频点靠近极点，响应被抬高；
• 因果有理离散系统要 BIBO 稳定，所有极点必须在单位圆内。

下面直接用一个 50 Hz 数字陷波器观察这件事。圆圈是零点，叉号是极点，亮点沿单位圆扫频。

7. 工程例题：从简单计算到完整链路

7.1 基础例题：RC 低通的暂态与稳态

电阻 $R$、电容 $C$ 组成一阶低通，输入电压为 $x(t)$，电容电压为 $y(t)$：

$$RC\dot y(t)+y(t)=x(t)$$

在零初始条件下做拉普拉斯变换：

$$(RCs+1)Y(s)=X(s)$$

所以传递函数为：

$$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{RCs+1}$$

若输入为幅值 $V_0$ 的阶跃，$X(s)=V_0/s$：

$$y(t)=V_0\left(1-e^{-t/(RC)}\right)u(t)$$

而把同一个 $H(s)$ 放到虚轴上，就得到正弦稳态频率响应：

$$H(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega RC}$$

$$|H(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}, \qquad \angle H(j\omega)=-\arctan(\omega RC)$$

取 $R=10\ \mathrm{k\Omega}$、$C=1\ \mathrm{\mu F}$：

$$\tau=RC=10\ \mathrm{ms}, \qquad f_c=\frac{1}{2\pi RC}\approx15.9\ \mathrm{Hz}$$

若 $V_0=5\ \mathrm V$，经过一个时间常数输出约为 $3.16\ \mathrm V$，经过 $5\tau$ 约为 $4.97\ \mathrm V$。

**怎么选工具：**上电过程和初始电压用拉普拉斯；正弦噪声能通过多少用傅里叶频响；二者来自同一个系统模型。

7.2 基础例题：10 点滑动平均能滤掉什么

长度为 $M$ 的滑动平均：

$$y[n]=\frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1}x[n-k]$$

Z 域传递函数：

$$H(z)=\frac{1}{M}\left(1+z^{-1}+\cdots+z^{-(M-1)}\right) =\frac{1}{M}\frac{1-z^{-M}}{1-z^{-1}}$$

放到单位圆上：

$$H(e^{j\Omega}) =e^{-j\Omega(M-1)/2} \frac{\sin(M\Omega/2)}{M\sin(\Omega/2)}$$

若采样率 $f_s=1000\ \mathrm{Hz}$、$M=10$：

• 第一处零点在 $100\ \mathrm{Hz}$，也会在 $200,300,\ldots\ \mathrm{Hz}$ 出现零点；
• 线性相位延迟为 $(M-1)/2=4.5$ 个样本，即 $4.5\ \mathrm{ms}$；
• 增大 $M$ 会增强平均效果，但会增加延迟并造成更明显的通带下垂。

这说明“平均得越多越好”并不成立。实时控制中，延迟往往和降噪同样重要。

7.3 进阶例题：振动传感器做 FFT 故障诊断

假设加速度传感器以 $f_s=1000\ \mathrm{Hz}$ 采样，记录 $N=2000$ 点：

$$T_{\text{record}}=\frac{N}{f_s}=2\ \mathrm s, \qquad \Delta f=\frac{f_s}{N}=0.5\ \mathrm{Hz}$$

这里的 $\Delta f$ 是 DFT 频点间隔，并不等于实际可分辨的最小谱线间隔；后者还受窗函数主瓣宽度、信噪比和估计方法影响。理想的 $120\ \mathrm{Hz}$ 分量位于第：

$$k=\frac{fN}{f_s}=240$$

个频点。但真正的工程流程不能只写一句“做 FFT”：

1. ADC 前抗混叠。 模拟低通必须在采样之前；混叠发生后无法靠数字滤波恢复。
2. 去均值、去趋势。 否则 DC 和低频漂移可能淹没小故障特征。
3. 选择窗函数。 非整周期截断会产生谱泄漏；Hann 窗常用，但会改变幅值与等效噪声带宽，需要做相应校正。
4. 看记录时长而不只看采样率。 $\Delta f=f_s/N=1/T_{\text{record}}$ 只是频点间隔；想可靠分开相距 $0.2\ \mathrm{Hz}$ 的谱线，2 秒记录通常不够，还要结合窗函数主瓣与信噪比判断。
5. 核对幅值定义。 单边谱、双边谱、峰值、RMS 与功率谱密度的标定不同，不能直接混用。

一个典型混叠例子是：

$$x_1(t)=\cos(2\pi100t), \qquad x_2(t)=\cos(2\pi900t)$$

以 $1000\ \mathrm{Hz}$ 采样后：

$$x_1[n]=\cos(0.2\pi n)$$

$$x_2[n]=\cos(1.8\pi n)=\cos(0.2\pi n)$$

两种模拟信号产生完全相同的离散样本。这不是 FFT 算错了，而是采样前已经丢失了可区分的信息。

7.4 进阶例题：把一阶连续对象精确采样

考虑一阶对象：

$$\tau\dot y(t)+y(t)=u(t)$$

若 DAC 在每个采样周期内把输入保持为常数（零阶保持），则精确离散模型为：

$$y[k+1]=ay[k]+(1-a)u[k], \qquad a=e^{-T/\tau}$$

改写索引，并在零初始条件下做 Z 变换：

$$y[k]=ay[k-1]+(1-a)u[k-1]$$

$$G_d(z)=\frac{(1-a)z^{-1}}{1-az^{-1}}$$

连续极点 $s=-1/\tau$ 映射成离散极点 $z=e^{-T/\tau}$。

如果只是给传感器实现“使用当前样本、没有额外整拍输入延迟”的一阶平滑器，常写成：

$$y[k]=ay[k-1]+(1-a)x[k]$$

两条递推式只差输入索引，却代表不同的采样时序；建模时不能把它们随意互换。

取 $\tau=20\ \mathrm{ms}$、$f_s=500\ \mathrm{Hz}$：

$$T=2\ \mathrm{ms}, \qquad a=e^{-0.1}\approx0.90484$$

实现只需要一次状态更新：

// x 是当前样本，y 是上一次输出；a = exp(-T / tau)
y = a * y + (1.0f - a) * x;

按连续的时间尺度计算，误差衰减到 $2\%$ 约需要 $39.1$ 个采样周期，即 $78.2\ \mathrm{ms}$；按离散更新次数取整，第一次严格低于 $2\%$ 是第 40 次更新，即 $80\ \mathrm{ms}$。这是调节时间和响应速度，不是纯延迟；它比只说“截止频率大约是多少”更直接地回答了滤波动态有多慢。

7.5 复杂例题：质量—弹簧—阻尼系统从 s 平面到 z 平面

动力学方程：

$$m\ddot y(t)+c\dot y(t)+ky(t)=F(t)$$

零初始条件下：

$$H(s)=\frac{Y(s)}{F(s)}=\frac{1}{ms^2+cs+k}$$

定义：

$$\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad \zeta=\frac{c}{2\sqrt{mk}}$$

取 $m=1\ \mathrm{kg}$、$c=4\ \mathrm{N\,s/m}$、$k=100\ \mathrm{N/m}$：

$$\omega_n=10\ \mathrm{rad/s}, \qquad \zeta=0.2$$

极点为：

$$p_{1,2}=-2\pm j\,9.798$$

这两个数字已经讲出了大部分动态特性：

• 实部 $-2$ 决定包络约按 $e^{-2t}$ 衰减；
• 虚部 $9.798\ \mathrm{rad/s}$ 决定阻尼振荡频率；
• 约 $4/2=2\ \mathrm s$ 进入 $2\%$ 近似稳定带。

正弦外力下的稳态幅值由傅里叶切片给出：

$$|H(j\omega)|= \frac{1}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}}$$

若以 $f_s=100\ \mathrm{Hz}$ 采样，$T=0.01\ \mathrm s$，连续极点映射为：

$$z_{1,2}=e^{p_{1,2}T} =0.98020e^{\pm j0.09798} \approx0.97550\pm j0.09589$$

半径小于 1 表示离散模态仍然衰减；角度 $0.09798\ \mathrm{rad/sample}$ 对应相同的物理振荡频率。这个例子把三种视角连了起来：拉普拉斯求模态和暂态，傅里叶看共振，Z 变换分析采样后的递推与稳定性。

如果有初始位移 $y_0$ 和速度 $v_0$，单边拉普拉斯还能直接保留它们：

$$(ms^2+cs+k)Y(s) =F(s)+msy_0+mv_0+cy_0$$

7.6 复杂例题：50 Hz 工频陷波器

设采样率 $f_s=1000\ \mathrm{Hz}$，目标频率 $f_0=50\ \mathrm{Hz}$：

$$\Omega_0=2\pi\frac{f_0}{f_s}=0.1\pi$$

把两个零点放在单位圆的目标角度，把一对极点放在同一角度、半径 $r<1$：

$$z_{1,2}=e^{\pm j\Omega_0}, \qquad p_{1,2}=re^{\pm j\Omega_0}$$

传递函数为：

$$H(z)=K \frac{1-2\cos\Omega_0z^{-1}+z^{-2}} {1-2r\cos\Omega_0z^{-1}+r^2z^{-2}}$$

令直流增益为 1：

$$K=\frac{1-2r\cos\Omega_0+r^2}{2-2\cos\Omega_0}$$

对应差分方程：

$$\begin{aligned} y[n]={}&2r\cos\Omega_0\,y[n-1]-r^2y[n-2]\\ &+K\left(x[n]-2\cos\Omega_0x[n-1]+x[n-2]\right) \end{aligned}$$

当 $r=0.98$ 时，极点的冲激响应包络大约按 $r^n$ 衰减：

$$N_\tau\approx-\frac{1}{\ln r}\approx49.5\ \text{samples}$$

即约 $50\ \mathrm{ms}$。把 $r$ 推近单位圆会让陷波更窄，但暂态更长、系数误差也更敏感。前面的互动实验可以直接看到这组权衡。

7.7 综合例题：数字控制中的一拍延迟为什么危险

仍考虑一阶对象，采样模型为：

$$y[k+1]=ay[k]+bu[k], \qquad a=e^{-T/\tau},\quad b=1-a$$

若做零参考值调节，并能在本拍立即使用 $u[k]=-Ky[k]$，闭环极点是：

$$\lambda=a-bK$$

稳定条件 $|\lambda|<1$ 给出：

$$-1<K<\frac{1+a}{b}$$

若计算、通信或执行器引入一拍延迟，实际变成 $u[k]=-Ky[k-1]$：

$$y[k+1]=ay[k]-bKy[k-1]$$

特征方程变为：

$$\lambda^2-a\lambda+bK=0$$

此时必须在 Z 域检查两个根是否都在单位圆内。二阶 Jury 条件为：

$$|bK|<1, \qquad 1-a+bK>0, \qquad 1+a+bK>0$$

由于 $0<a<1$ 且 $b=1-a>0$，合并得到：

$$-1<K<\frac{1}{b}$$

取 $\tau=0.1\ \mathrm s$、$f_s=100\ \mathrm{Hz}$：

$$a=0.90484,\qquad b=0.09516$$

无额外延迟时，正增益上限约为 $20.02$；加入一拍延迟后，Jury 稳定条件把正增益上限降到：

$$0<K<\frac{1}{b}\approx10.51$$

也就是说，只多一拍，允许的控制增益几乎减半。这是 Z 变换比“只看连续模型”更能揭示的典型数字控制问题。

8. 收敛域、因果性与稳定性的工程判据

对于有理变换，ROC 不包含极点。常见结论如下：

这些结论有前提：因果、有理、讨论输入输出 BIBO 稳定性。 如果系统存在极零精确抵消，传递函数还可能隐藏状态空间中的内部不稳定模态，不能只看约分后的输入输出传递函数。

9. 常见误区与排错清单

9.1 “把 s 换成 jω 就是傅里叶变换”

不完整。先检查拉普拉斯 ROC 是否包含虚轴。否则只能在广义函数等更扩展的框架中讨论，不能把普通积分当作已经收敛。

9.2 “把 z 换成 e^(jΩ) 就是 DTFT”

同样需要单位圆位于 Z 变换 ROC 内。增长序列可能有 Z 变换，却没有普通 DTFT。

9.3 “DFT 就是连续信号的真实频谱”

DFT 看到的是：模拟前端、采样、有限记录窗和频率采样共同作用后的结果。混叠、泄漏、栅栏效应和幅值标定都要单独检查。

9.4 “采样率够高，DFT 就一定看得更细”

DFT 频点间隔由记录时长决定：

$$\Delta f=\frac{f_s}{N}=\frac{1}{T_{\text{record}}}$$

提高 $f_s$ 却保持 $N$ 不变，记录反而更短，频点间隔会变粗。实际谱线分辨能力还要结合窗函数主瓣、信噪比和估计方法判断。

9.5 “极点在稳定区就万事大吉”

极点位置不直接保证噪声、饱和、量化、计算延迟和未建模动态都可接受。它只回答给定线性模型下的一部分问题。

9.6 “z = e^(sT) 就是唯一离散化方法”

它准确映射指数模态，但完整传递函数离散化还取决于零阶保持、双线性变换、冲激响应不变法等选择。尤其要检查零点、增益、相位和频率翘曲。

10. 真正做题时怎样选择

最后可以把整篇笔记压缩成一句口诀：

看频率，用傅里叶；解连续暂态，用拉普拉斯；解离散递推，用 Z；从连续走向离散，先看 $z=e^{sT}$，再说明离散化方法。

参考书目与继续阅读

• A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, Signals and Systems。
• A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing。
• K. Ogata, Modern Control Engineering。
• 本站笔记：Bode 图，可继续理解极点、频率响应和稳定裕度。