LaTeX 排版 02：数学公式、交叉引用与参考文献

写技术笔记时，公式最难维护的部分往往不是某个希腊字母，而是：推导换行以后等号能否对齐，插入一个公式以后正文引用会不会过期，参考文献增加以后编号能否自动更新。本篇用一个最小二乘问题，把这些工作连成一套可以实际练习的写作方法。

学习前先完成文档结构与中文编译。完整路线、项目入口和编译环境见学习指南，后续的图表内容见图片、表格与长文档。所有内容集中在独立的 LaTeX 分类。

配套材料：下载完整练习工程 · 查看编译后的 PDF。工程将导言区、数学章节、图表章节和 references.bib分开保存；本文的短代码用于逐项理解，完整工程用于一起练习。

一、先固定符号约定和宏包

本文约定小写斜体表示标量，粗斜体表示向量或矩阵，正体下标表示文字说明。它是一套便于练习的约定；写论文时应优先遵守所用模板和学科规范。符号一旦选定，就不要在同一篇文章里让 x、\mathbf{x}、\bm{x}轮流表示同一个向量。

导言区先加入：

\usepackage{amsmath,amssymb,bm}
\usepackage{amsthm}

\DeclareMathOperator{\rank}{rank}
\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\,min}
\newcommand{\vect}[1]{\bm{#1}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

amsmath提供公式环境、文本嵌入和运算符声明；amssymb扩展数学符号；bm提供数学对象的加粗命令，包含希腊字母；amsthm处理定理和证明。它们各有职责，不需要为了“公式更专业”再一次性加载十几个宏包。AMS 数学宏包说明、bm 宏包说明和amsthm 宏包说明可以用来查各自边界。

自己定义 \vect 有一个实际好处：以后需要把向量改为带箭头的样式，可以集中修改定义。宏的名字应表达含义；不建议为了少敲几个字符，把 \section 改成难以理解的单字母命令。

这里使用传统数学字体配置。若以后采用 unicode-math 和 OpenType 数学字体，应重新确认粗体命令和符号配置，不要原样叠加两套字体方案。

二、先区分行内、行间和编号

短表达式是句子的一部分，例如“当 $n>m$ 时继续检查矩阵的秩”。较长的目标函数应独立成行。下面是同一个概念在 .tex 文件中的两种写法：

设 \(\vect{x}\in\R^n\)，\(\vect{A}\in\R^{m\times n}\)，
观测向量为 \(\vect{b}\in\R^m\)。
考虑目标函数
\[
  J(\vect{x})=\frac{1}{2}
  \lVert\vect{A}\vect{x}-\vect{b}\rVert_2^2.
\]

显示效果：

$$J(\boldsymbol{x})=\frac{1}{2}\lVert\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{b}\rVert_2^2.$$

注意范数下标里的 2 表示二范数，右上角的 2 表示平方，两者不可互相替代。\frac{1}{2} 是排版命令，也不会自动检查目标函数是否符合你要描述的模型。

需要在下文引用时，改用带编号的环境：

\begin{equation}
  J(\vect{x})=\frac{1}{2}
  \lVert\vect{A}\vect{x}-\vect{b}\rVert_2^2.
  \label{eq:least-squares}
\end{equation}

目标函数见式~\eqref{eq:least-squares}。

\eqref自动带括号；\ref只输出编号。~是不换行空格，用来避免“式”和编号分到两行。标签名表示内容，例如 eq:least-squares，不要写成 eq:3，因为第三个公式随时可能变成第四个。

在 .tex 文档中不要以 $$...$$作为行间公式的常规写法，使用 LaTeX 环境更容易与编号、间距和宏包配合。本网站的 Markdown 数学渲染器使用美元分隔符，网页写法和 .tex 源文件写法应分别理解；复制上方标明 latex 的代码即可。

三、对齐是在描述结构

多条公式：align

设矩阵与向量都是实数，且维度与上一节一致，则最小二乘目标函数的梯度和 Hessian 为：

\begin{align}
  \nabla J(\vect{x})
    &= \vect{A}^{\mathsf{T}}(\vect{A}\vect{x}-\vect{b})
    \label{eq:gradient} \\
  \nabla^2 J(\vect{x})
    &= \vect{A}^{\mathsf{T}}\vect{A}.
    \label{eq:hessian}
\end{align}

每个 &标记对齐位置，这里放在等号前；\\结束当前行。不要用若干空格把等号推到一起，数学模式里的普通空格不会承担这种布局职责。align已经是行间数学环境，外面不要再包一层 \[...\] 或 equation。

如果中间行不需要编号，在该行加 \notag；如果整组都不需要编号，使用 align*。准备引用的行必须保留编号，并把 \label放在该行中、换行命令之前。amsmath 使用手册的 displayed equations 部分说明了这些环境的差别。

一条推导分成多行：equation 加 aligned

\begin{equation}
  \begin{aligned}
    J(\vect{x})
      &= \frac{1}{2}(\vect{A}\vect{x}-\vect{b})^{\mathsf{T}}
         (\vect{A}\vect{x}-\vect{b}) \\
      &= \frac{1}{2}\vect{x}^{\mathsf{T}}
         \vect{A}^{\mathsf{T}}\vect{A}\vect{x}
       - \vect{b}^{\mathsf{T}}\vect{A}\vect{x}
       + \frac{1}{2}\vect{b}^{\mathsf{T}}\vect{b}.
  \end{aligned}
  \label{eq:expanded-loss}
\end{equation}

外层表示一个带编号的公式，内层负责两个等号的对齐。aligned本身不负责开启数学模式；它也可以放在 \[...\]中，得到不编号的多行结构。长公式最好在等号、加号或乘积结构边界处拆开，不要先缩小字体，也不要把整页文字宽度改大来容纳一个局部问题。

分段函数：cases

下面的 Huber 损失中，阈值 $\delta>0$。两段在边界处的值应相等，这个数学条件需要作者自己确认。

\begin{equation}
  \rho_\delta(r)=
  \begin{cases}
    \dfrac{1}{2}r^2, & \lvert r\rvert\leq\delta, \\
    \delta\bigl(\lvert r\rvert-\dfrac{1}{2}\delta\bigr),
      & \lvert r\rvert>\delta.
  \end{cases}
  \label{eq:huber}
\end{equation}

cases中的 &分开“取值”和“条件”，\\分开各个分支。这里只用 \dfrac让分数容易阅读；在行内表达式里强行使用大分数，可能撑高行距。

$$\rho_\delta(r)=\begin{cases} \frac{1}{2}r^2,&\lvert r\rvert\leq\delta,\\ \delta(\lvert r\rvert-\frac{1}{2}\delta),&\lvert r\rvert>\delta. \end{cases}$$

四、字形要告诉读者“这是什么”

数学模式默认把字母当作变量。直接写 sin(x) 会把 s、i、n当成连续变量；应写 \sin x。同样，直接写 rank(A) 不如定义并使用 \rank(\vect{A})。

\mathrm适合简短的正体数学标记，不适合拿来排一整句自然语言；说明语句使用 \text。运算符需要的不只是正体字形，还有左右间距，因此不要把 \mathrm{rank}当作所有运算符声明的替代品。

量值和单位也要分清。例如 \(t=2\,\mathrm{s}\)中，t是变量，s是秒，\,提供一个小间隔。大量含单位的数据请统一使用 siunitx，对应写法与表格对齐见图表篇。微分记号可按本文约定写为 \mathrm{d}t；不同出版规范可能采用不同字形，要先统一约定再应用。

五、矩阵和定理也有结构

另一种常见向量约定是箭头记号：\vec{v} 适合单字母，\overrightarrow{AB} 适合从点 A 到点 B 的方向。它们与本篇的粗体约定都是排版选择；一份文档中选定一种约定后保持一致。可以修改 \vect 的定义来统一切换，而不用逐条改公式。

矩阵与维度检查

\[
  \vect{A}=\begin{bmatrix}
    1 & 0 \\
    1 & 1 \\
    1 & 2
  \end{bmatrix},\qquad
  \vect{x}=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix},\qquad
  \vect{b}=\begin{bmatrix}1\\2\\2\end{bmatrix}.
\]

bmatrix自带方括号，pmatrix自带圆括号；不带括号时可用 matrix。矩阵里 &分列，\\分行。上述矩阵是三行两列，参数向量是两行一列，所以乘积是三行一列，能与观测向量比较。

LaTeX 不会替你检查矩阵乘法是否合法。即使把参数向量多加一个元素，它也可能正常生成 PDF；因此每次引入矩阵，先在正文说明维度，再检查乘积、转置和逆矩阵是否存在。需要括号自动伸缩时可用成对的 \left、\right，但不要跨 align 的换行符配对；分行时分别选择合适大小的括号更清楚。

定理与证明

在加载 amsthm之后声明环境；如果还使用下一节的 cleveref，把环境声明放在该宏包加载之后：

% 导言区
\newtheorem{theorem}{定理}[section]

% 正文
\begin{theorem}[正定二次型]\label{thm:positive-quadratic}
  设实对称矩阵 \(\vect{Q}\) 正定，则
  \(f(\vect{x})=\vect{x}^{\mathsf{T}}\vect{Q}\vect{x}\)
  的唯一全局最小点为 \(\vect{x}=\vect{0}\)。
\end{theorem}

\begin{proof}
  由正定性，任何非零 \(\vect{x}\) 都满足
  \(\vect{x}^{\mathsf{T}}\vect{Q}\vect{x}>0\)，
  而 \(f(\vect{0})=0\)，因此结论成立。
\end{proof}

[section]让定理编号与节关联；proof提供证明结构和结束标记。如果把“正定”改成“半正定”，唯一性结论就不再普遍成立，排版系统仍然不会报错。这正是“数学正确”和“排版正确”需要分开验收的原因。

六、交叉引用与超链接

在本文使用的宏包组合中，先加载数学、图表和文献宏包，再加载 hyperref，最后加载 cleveref。hyperref使引用可点击，cleveref按被引用对象的类型添加名称。后者对加载顺序有要求，不能把“hyperref 最后加载”当成没有例外的口诀。见 hyperref 文档和 cleveref 手册的宏包交互说明。

\usepackage[hidelinks]{hyperref}
\usepackage[nameinlink,noabbrev]{cleveref}
\crefname{equation}{式}{式}
\Crefname{equation}{式}{式}
\crefname{figure}{图}{图}
\crefname{table}{表}{表}

% 若上一节已经声明 theorem，将原声明移到这里，只保留一次。
\newtheorem{theorem}{定理}[section]
\crefname{theorem}{定理}{定理}
\Crefname{theorem}{定理}{定理}

正文可写 \cref{eq:gradient,eq:hessian}，把名称和多个编号交给宏包处理。中文名称需要像上面这样明确配置；不能假设英文默认设置会自动变成中文。不要在 \cref之前再手写一个“式”，否则可能重复。

把 \label放在产生目标编号的位置：章节的 \section之后，图表的 \caption之后，公式环境或相应公式行内部。不要把图的标签放在 \caption之前，再指望它一定得到该图编号。

交叉引用至少经历“记录标签”和“读取标签”两个阶段，因此首次编译出现 ??并不罕见。但完整构建结束后仍然存在 ??，就应检查标签拼写、重复标签、位置和构建日志，不能把问号当成正常结果交付。也不要手写“见公式 (7)”或用 \tag{7}掩盖引用问题；\tag用于确实需要指定特殊标记的场景，不承担自动编号管理。

七、参考文献：只建立一条完整链路

本文选定 BibLaTeX + Biber：.bib保存文献数据，BibLaTeX 控制引用和文献表样式，Biber 处理数据。这样可以把“引用哪篇文献”和“使用什么编号样式”分开管理。BibLaTeX 官方说明介绍了这种职责划分。

1. 建立 references.bib

新建 UTF-8 文件 references.bib：

@book{knuth1984texbook,
  author    = {Knuth, Donald E.},
  title     = {The {TeXbook}},
  date      = {1984},
  publisher = {Addison-Wesley},
  location  = {Reading, Massachusetts},
  isbn      = {0-201-13448-9}
}

条目中的书名、年份、出版社和 ISBN 对应 Knuth 本人的书目信息。参考文献练习也要使用能追溯的真实条目，不要随手编造 DOI 或页码。

knuth1984texbook是引用键，不会因为书在文献表里排第几而变化。作者用“姓, 名”便于解析；多名作者用 and分隔，不要用逗号连接整个作者列表。书名中内层的 {TeXbook}保护这一部分的大小写。代码围栏标为 bibtex只是语法高亮名称，不代表本例要运行 BibTeX 程序。

2. 写一份最小 main.tex

下面的完整例子可单独用于排查文献环境，不依赖本篇其它数学代码：

\documentclass[UTF8,fontset=fandol]{ctexart}
\usepackage{csquotes}
\usepackage[backend=biber,style=numeric,sorting=none]{biblatex}
\addbibresource{references.bib}
\usepackage[hidelinks]{hyperref}

\begin{document}
\section{阅读记录}
了解 TeX 的排版模型可以从其作者的著作入手
\cite{knuth1984texbook}。

\printbibliography[title={参考文献}]
\end{document}

numeric采用数字引用，sorting=none让文献表按引用顺序排列。默认只列出实际引用的条目；把一百条资料放入 .bib，并不意味着它们都应该出现在文末。\nocite{*}可以列出全部条目，但练习时不应靠它掩盖正文漏引。字段和命令的详细定义见 BibLaTeX 用户手册。

这套配置不要再混入旧模板的 \bibliographystyle、\bibliography或另一个 natbib加载语句。以后遇到期刊强制的旧模板，应按该模板单独建立构建方案，而不是把两套链路拼到同一份文档里。

3. 让 latexmk 驱动构建

在同时包含 main.tex与 references.bib的目录执行：

latexmk -xelatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error main.tex

latexmk会根据依赖和辅助文件判断何时调用 XeLaTeX、何时运行 Biber，以及是否需要再次编译。它需要环境中已经提供相应程序，不会替你凭空安装缺失的 Biber。自动构建的职责见 latexmk 文档。

为理解中间过程，可以在这个简单例子中手动执行：

xelatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error main.tex
biber main
xelatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error main.tex
xelatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error main.tex

第一步让文档写出 Biber 所需的 .bcf等信息；Biber 读取文献数据库并生成 .bbl；后续编译读入结果，继续稳定引用编号。这里的 biber main对应文档任务名，参数不是 references.bib。平时用 latexmk判断是否完成，不必机械地背诵“永远编译四次”。

本仓库提供统一的 Docker 练习环境。在仓库根目录执行：

./bin/site.sh latex-build
./bin/site.sh latex-test

构建项目、输出位置及已有目录保护规则见学习指南。可以传入新的输出目录保留一次独立结果，例如 ./bin/site.sh latex-test build/latex-practice-02。这些命令用于本仓库的完整练习项目；上面的两文件例子用于理解最小依赖。

八、从现象定位问题

排查时先看 .log中的第一条实质错误，再看 Biber 的 .blg。只对自己能够解释的辅助文件执行清理；不要靠删除全部文件碰运气，更不要误删 .tex、.bib和原始图片。若更改过后端或大幅调整构建配置，可在保留源文件的前提下清理派生文件，再做完整构建。

九、做三次会暴露问题的练习

练习 A：让编号自动改变。 在 eq:gradient之前插入一条新的带编号公式，再构建。检查正文引用是否自动更新、PDF 链接是否跳到正确位置。验收时要同时检查编号文本和点击目标；只看编号“像是对的”还不够。

练习 B：让数学条件发生变化。 把定理中的正定改为半正定，构造 diag(1,0)的例子。确认 LaTeX 仍会编译，但最小点不再唯一。然后修正定理表述。把这次练习记录为“排版检查通过，数学检查未通过”，养成分开判断的习惯。

练习 C：故意破坏一条引用。 将正文的 knuth1984texbook改成不存在的键，完整构建并寻找 warning；记录 PDF 与日志的表现，然后恢复。再添加一条来自真实出版社或作者主页的文献，先核对元数据，后添加引用。验收标准是没有未定义引用、文献表信息可追溯、正文顺序改变后编号仍正确。

完成后应当能回答：为什么 aligned需要外层数学环境？为什么 \operatorname与 \mathrm不能随意互换？为什么插入公式不该手改十处数字？为什么 .bib已经存在，仍然可能没有参考文献？把答案连同你编译出的 PDF 留在自己的练习记录里，再继续图表与长文档篇。