振动01：自由振动、强迫振动与共振

机器振动通常同时包含三件事：某个源在持续激励，结构按自己的动力学响应，传递路径把运动带到测点。频谱上一个很高的峰，既可能来自很强的输入，也可能来自很容易被激起的结构模态；只看峰高还不足以决定该加固、加阻尼还是换隔振支撑。

本篇从一个质量—弹簧—阻尼系统开始，区分自由振动、受力强迫振动和基座激励，计算它们各自的频率、幅值、相位与隔振条件，再用两项谐波解释为什么较小的激励也可能产生更大的响应。

一、把模型、坐标和单位先说清楚

假设质量 m>0 只沿一个方向运动，弹簧刚度 k>0 恒定，阻尼系数 c≥0，阻尼力与速度成正比，外力为 F(t)。用静态平衡位置作为 x=0，则：

图中是固定基座的受力激励模型，弹簧与阻尼器作用在同一个质量上；箭头只定义正方向。

$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F(t).$$

这里 m 的单位是 kg，k 是 N/m，c 是 N·s/m；三项的单位都是 N。弹簧储存势能，质量的运动储存动能，阻尼耗散能量；对于 c>0，阻尼耗散功率为 c·速度²，不会凭空给被动系统增加能量。

“静态平衡位置”很重要：竖直弹簧的重力可以先由静态伸长抵消，再分析绕平衡点的增量运动。若坐标从弹簧自然长度开始，却又把重力省略，就改变了模型。

这个单自由度线性模型适合描述一个方向上某个主导模态的小幅运动。齿轮间隙、碰撞、干摩擦、接触松脱、材料非线性或大角度运动，都可能使固定 k、固定 c 的模型失效；它们需要另外的接触或非线性模型。

单自由度也不表示整台机器只有一个固有频率。真实结构往往有多个模态，每个模态有自己的振型、频率、参与程度和阻尼；测点在某个振型的节点附近时，可能几乎看不见那个模态。

三种频率不要混成一个

无阻尼固有角频率、固有频率和阻尼比定义为：

$$\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad f_n=\frac{\omega_n}{2\pi},\qquad \zeta=\frac{c}{2\sqrt{mk}}.$$

ω 的单位是 rad/s，f 的单位是 Hz。若频谱显示 20 Hz，代入运动方程的角频率应是 2π×20≈125.66 rad/s，不能直接填 20。旋转频率从转速换算时，f_rot=rpm/60；180 rpm 对应 3 Hz。

阻尼比 ζ 没有单位，临界阻尼系数为 c_crit=2√(mk)。改变载荷 m 后，即使弹簧和阻尼器没有换，固有频率与阻尼比都会改变。

二、自由振动：撤掉激励后系统怎样回去

设 F(t)=0，但初始位移或初始速度不为零。自由响应由初始条件触发；只要系统稳定且 c>0，它会逐渐衰减。三类阻尼的区别来自特征方程 ms²+cs+k=0 的根：

欠阻尼自由响应可以写为：

$$x(t)=e^{-\zeta\omega_n t} \left(A\cos\omega_d t+B\sin\omega_d t\right),$$

$$\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2},\qquad f_d=\frac{\omega_d}{2\pi}.$$

ωd 是自由衰减时观察到的振荡角频率，仅适用于欠阻尼情形；它与 ωn 相近，但不完全相同。临界、过阻尼响应没有这种周期，不能把根号公式强行用于 ζ≥1。相关分类与解的形式可对照 TU Delft 的 Steeneken 自由阻尼振动教材。

用同一组参数算一个衰减过程

以下各节统一使用 m=10 kg、k=4000 N/m、c=40 N·s/m。由此得到：

初始位移 x(0)=1 mm、初始速度为 0，代入初始条件得到：

$$x(t)\approx10^{-3}e^{-2t} \left[\cos(19.8997t)+0.1005\sin(19.8997t)\right]\ \mathrm{m}.$$

正弦项不能随便省略：若仅写 1 mm×e^(−2t)×cos(ωd t)，初始速度会变成 −2 mm/s，与给定条件不符。

一个阻尼周期约为 0.3157 s，相邻同向峰值之比为：

$$\frac{x_{p+1}}{x_p} =e^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} \approx0.5318.$$

因此从初始正峰 1 mm 出发，下一个正峰约为 0.532 mm。把相邻同向峰值取对数可以估算阻尼，但前提是该段确实近似单模态自由衰减，没有持续驱动力、明显拍振或非线性接触。

阻尼大不等于任何意义下都回得快

同样的 m、k，若 c=400，则为临界阻尼，特征根均为 −20；若 c=800，则 ζ=2，两个特征根约为 −5.359 与 −74.641。后一种响应里有一个更慢的衰减分量。

所以不能从“阻尼加倍”直接推出“收敛时间减半”。临界阻尼与过阻尼不出现周期性振荡，但特殊初始速度仍可能使位移跨过平衡点一次；没有周期振荡与永远不越过平衡点是不同陈述。

三、强迫振动：系统跟着输入频率持续运动

现在施加 F(t)=F0 cos(ωt)。稳定阻尼系统的总响应由自由衰减的瞬态和持续存在的受迫稳态组成；等待瞬态衰减后，稳态以输入角频率 ω 振荡，而不是以 ωd 振荡。

设稳态为 x(t)=X cos(ωt−φ)，位移幅值和滞后相位为：

$$X=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}},$$

$$\phi=\operatorname{atan2}(c\omega,k-m\omega^2).$$

也可以定义频率比 r=ω/ωn，把位移归一化为静态挠度 F0/k：

$$M(r)=\frac{X}{F_0/k} =\frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}.$$

这是一项固定幅值的谐波力输入，观察位移输出的频率响应。若输入换成基座位移、速度，或力幅本身随转速平方增长，峰值位置与实际运行曲线不能一律照搬。

10 N 激励为什么会变成 12.5 mm

继续使用前面的 m、k、c，力幅 F0=10 N，静态挠度为 2.5 mm：

低频时惯性项较小，响应接近静态变形；接近固有频率时，弹性与惯性部分相互抵消，阻尼决定响应规模；高频时位移响应趋于 F0/(mω²)，且位移接近反相。

相位必须使用 atan2 判断象限。只算 atan(cω/(k−mω²))，在 r>1 时可能给出负的小角度，把接近 180° 的滞后错误标成接近 0°。

频响峰不总在 fn，也不等于 fd

对固定 F0 的位移放大倍数求极值，0<ζ<1/√2 时，非零频率峰值位于：

$$\omega_{\mathrm{peak}}=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}.$$

ζ=0.1 时，峰值频率约为 3.151 Hz，位移约为 12.563 mm；自由阻尼频率是 3.167 Hz，无阻尼固有频率是 3.183 Hz。三个数接近，物理定义却不同。ζ≥1/√2 时，这个力到位移幅频曲线不再具有非零频率共振峰。

理想无阻尼系统在精确共振下没有有限幅值稳态，持续谐波输入会使振幅随时间增长。现实中响应最终受到阻尼、非线性、接触或失效等机制影响；“公式分母为零”描述的是理想模型的边界。频响增益、相位及阻尼共振的定义可对照 MIT 18.03 的频率响应讲义。

四、基座激励：装了软垫为什么反而更晃

假设地面或安装基座位移为 y(t)，质量的绝对位移为 x(t)，弹簧伸缩量为 z=x−y。此时弹簧和阻尼器感受到的是相对运动，方程应为：

虚线标记静态参考位置。图中 x=y 的橙色虚线代表质量随基座刚性平移的位置，从它到当前质量位置的差才是相对变形 x−y，不是整段弹簧的几何长度。

$$m\ddot{x}+c(\dot{x}-\dot{y})+k(x-y)=0.$$

若基座以位移幅值 Y 做单频运动，质量绝对位移的传递率为：

$$T_x=\frac{X}{Y} =\frac{\sqrt{1+(2\zeta r)^2}} {\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}.$$

它的分子不同于前面的受力位移放大倍数 M，因为基座通过弹簧与阻尼器共同输入。对同一单频输入，绝对加速度幅值比也等于 Tx；多频信号则必须按频率分别处理，不能用一个 Tx 乘总 RMS。

频率比大于 √2，才进入这个模型的隔振区

把 Tx<1 两边平方并整理，阻尼项消去，得到 r²(r²−2)>0。对 r>0，因此隔振条件是：

$$r>\sqrt{2}.$$

这个阈值适用于上述线性单自由度系统的质量绝对位移传递率，不是全部机械系统的通用判据。频率比接近 1 时，支撑会放大运动；只有工作频率明显高于支撑系统固有频率时，软支撑才可能发挥隔振作用。IIT/NPTEL 的隔振讲义同时强调了通过共振区和静态挠度带来的取舍。

基座位移幅值 Y=0.2 mm，仍使用 ζ=0.1：

低频时质量基本跟着基座运动，Tx 接近 1。不能因为“垫子很软”就预期全部频率都明显衰减。

加阻尼、减刚度都有代价

阻尼可以减小接近共振时的响应，但在较高频率的隔振区，它也会成为传递路径。r=3 时，ζ=0.1 对应 Tx≈0.145；把 ζ 增至 0.4，Tx≈0.311，传递反而增大。因此设计要兼顾启动穿越共振、冲击、稳定性与运行区隔振效果。

若减小刚度 k，固有频率下降，同一输入频率的 r 增大；但静态压缩量也会增大。例中若弹簧竖直承重，mg/k≈24.5 mm。要把固有频率降为一半，在质量不变时需把刚度降到原来的四分之一，静态压缩随之增至约 98.1 mm。

还要检查相对位移，即隔振器行程。其幅值比为：

$$\frac{Z}{Y}=\frac{r^2} {\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}.$$

r=3、Y=0.2 mm 时，相对运动幅值约为 0.224 mm，虽然质量绝对运动只有 0.029 mm。绝对运动变小，并不意味着弹簧伸缩也同步变小；预压、限位、摆动和行程都需要单独核查。

五、谐波叠加：较小的输入也可能占据输出

周期力可以包含基频和整数倍频率，例如：

$$F(t)=10\cos(10t)+3\cos(20t)\ \mathrm{N}.$$

在同一线性系统中，可以分别求每一项的稳态响应，再相加。第一项频率比 0.5，位移幅值约为 3.304 mm、滞后 7.595°；第二项频率比 1，位移幅值为 3.750 mm、滞后 90°。因此：

$$x(t)\approx3.304\cos(10t-0.1326) +3.750\cos(20t-\pi/2)\ \mathrm{mm}.$$

第二项力幅只有第一项的 30%，位移响应却略大，因为它恰好接近结构共振。不能根据输入谐波的大小直接猜输出排序，也不能只盯住转频而漏掉倍频靠近模态的情况。周期输入的傅里叶分解和线性响应叠加可对照 IIT/NPTEL 的受迫振动讲义。

位移、速度、加速度给出的重点不同

对单个正弦位移，速度峰值为 ωX，加速度峰值为 ω²X。例中两个分量分别为：

高频分量在加速度里被更强地加权。比较传感器或仿真日志时，要先统一测量量、单位、频率范围和幅值定义。单个零均值正弦的 RMS 是峰值/√2，峰峰值是峰值的两倍；一般波形不能直接沿用这些换算。

本例两项频率是整数倍，在完整公共周期上正交，位移 RMS 约为 √((3.304²+3.750²)/2)=3.534 mm。这不等于两个 RMS 的直接相加；总峰值也不能直接写成两项幅值之和，后者只是 7.054 mm 的上界，是否接近还取决于相位。

叠加法的边界：间隙与碰撞会产生新频率

固定线性系统受到单频力时，衰减瞬态消失后的输出仍是该单频。若稳定运行时出现输入没有的谐波，可能意味着激励本身并非单频，也可能涉及间隙、摩擦、碰撞、饱和或其他非线性，不能一律解释为“多了一个固有频率”。

非线性系统通常不能把两个输入的响应直接相加，响应还可能随幅值变化、出现跳跃或分数倍频率；这需要相应非线性方程和验证。IIT/NPTEL 的非线性振动课程把这类问题与线性受迫振动分开讨论。

六、把模型结论放回机器上

对一个振动现象，先区分当前是停止驱动后的衰减、持续周期激励，还是安装基座在动；再明确测点测的是绝对运动、相对运动、力还是加速度。否则，同一个频率比可能被错误地放进不同传递率公式里。

改变转速时，旋转激励的转频与倍频会移动；结构频率通常主要由刚度、质量与边界决定。若扫速过程中某个移动阶次接近一个相对固定的模态，响应常会增大，但这种观察仍需结合负载、测点、输入幅值与控制状态确认，不能单凭一张频谱定因。

在减振措施上，改变输入可以减少不平衡或冲击，改变刚度与质量可以移动模态，增加阻尼可以削弱共振附近响应，设计支撑可以改变传递路径。它们改变的是不同环节；先确认主导机制，才知道修改后的收益和代价应如何验证。

更多谐波、齿轮间隙、控制与规划相关内容见振动分类。本篇数值全部由明确的线性模型与参数计算，适合作为后续机械、控制与排查案例的基准。