机器人操作数学重学 04：抓取约束与非完整运动

两根手指向内夹紧物体，为什么可以“很用力却不推动物体”？轮子不能侧滑，小车为什么又能经过几次前后转向改变横向位置？这两个问题都在研究运动受到约束后，力与速度还可以怎样组合。本篇用一个两指抓取和一次四段小车运动，把矩阵的零空间与 Lie 括号变成可计算的过程。

系列学习地图 · 上一篇：03 动力学与控制 · 回看：01 刚体运动、02 运动学与雅可比

1. 两个接触点，合起来能产生什么力

在物体中心建立平面坐标，左右接触点分别为 p₁ = (−a, 0)、p₂ = (a, 0)。所有力都先用同一组坐标轴表达，并约定 f₁、f₂ 是手指施加给物体的力。

把两个接触力按固定顺序放入向量：

$$f_c=\begin{bmatrix}f_{x1}&f_{y1}&f_{x2}&f_{y2}\end{bmatrix}^T$$

物体受到的合力是两力相加，绕中心的力矩由 p × f 得到。因此抓取映射为：

$$F_o=Gf_c,\qquad G=\begin{bmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&0&1\\ 0&-a&0&a \end{bmatrix}$$

F_o = (F_x, F_y, τ_z) 是平面力旋量，对应本系列六维顺序 (f, τ) 的平面分量。第三行的负号可以直接检查：左侧向上的力会让物体顺时针转动，因此贡献 −a f_y1。

取 a = 0.5 m，先不考虑接触是否可实现，代入 f_c = (2, −1, −2, 1) N：

合水平力：  2 + (−2) = 0 N
合竖直力： −1 + 1    = 0 N
合力矩：  −0.5×(−1) + 0.5×1 = 1 N·m

它形成一个净转矩。矩阵乘法不仅给出答案，也把每一项的物理来源保存下来。

2. 零空间：为什么夹紧却不移动物体

换成相向夹紧的力：

$$f_{\mathrm{int}}=\lambda \begin{bmatrix}1\\0\\-1\\0\end{bmatrix}, \qquad Gf_{\mathrm{int}}=0$$

左手指向右推、右手指向左推，两力大小相同且作用线相同，合力与合力矩都为零。这就是内部力：落在 G 的零空间里，能改变接触载荷，却不改变物体的合力旋量。

“合力为零”不等于没有应力，更不等于可以无限加大夹紧力。物体强度、指尖接触、驱动器转矩和传感器量程都会给出实际边界。对只能推不能拉的接触，以上夹紧方向还要求 λ ≥ 0。

若某个 f₀ 已经能产生所需合力 F_o，那么 f₀ + f_int 仍给出同样的 F_o。这种自由度可以用于调节夹紧，但调节后的力还必须满足接触约束。

3. 力闭合不能只看矩阵秩

对理想点接触，通常不能随意选择四个力分量。假设左接触法向朝右、右接触法向朝左，采用平面库仑摩擦模型：

$$\begin{aligned} f_{x1}&\geq0,& |f_{y1}|&\leq\mu f_{x1},\\ -f_{x2}&\geq0,& |f_{y2}|&\leq\mu(-f_{x2}). \end{aligned}$$

法向力非负表达“只能推”，摩擦不等式限制切向力。前面 f_c = (2, −1, −2, 1) 的例子若取 μ = 0.6，每边允许的切向力上限为 1.2 N，而实际为 1 N，所以在这个简化模型下可行。

力闭合讨论：允许的接触力能否合成任意方向的物体力旋量，以抵抗任意方向的外扰。G 满行秩只说明不受限制的代数力分量可以张成这些方向，不代表摩擦锥内的力也能做到。

例如把摩擦系数设为 0，两接触只剩水平方向的推力；即使上面那个未约束的 G 仍是满行秩，也无法抵抗竖直外力。实际执行器还有幅值限制，因此“方向上力闭合”也不意味着能抵抗任意大的扰动。

4. 同一个转置，连接抓取的力和速度

设物体平面速度为 V_o = (v_x, v_y, ω)。左接触点的速度是 (v_x, v_y − aω)，右接触点是 (v_x, v_y + aω)；堆叠起来恰好是：

$$v_c=G^TV_o$$

另一方面，手指接触点速度由手的雅可比给出 v_c = J_h(q)q̇。在刚性接触、接触持续保持且无滑动的假设下，两侧接触速度必须一致：

$$J_h(q)\dot q=G^TV_o$$

这里的速度分量与前面接触力分量采用相同坐标和相同堆叠顺序。于是接触功率满足：

$$f_c^TJ_h\dot q=f_c^TG^TV_o=(Gf_c)^TV_o$$

这与上一章的 τ = JᵀF 是同一种虚功对偶关系。若 f_c 定义为手施加给物体的力，则物体施加给手的反力是 −f_c，它在手关节上的广义外力为 −J_hᵀf_c；准静态忽略其他作用时，驱动器需要相应抵消它。

发生滑动、分离或接触模型改变时，不能继续无条件使用整组速度相等关系，而应重新写出允许的速度与力约束。

5. 轮子不能侧滑，为什么还能换到旁边

下面切换到一个理想差速底盘／独轮车运动学模型。配置为 q = (x, y, θ)，控制输入为前进速度 v 和转向角速度 ω：

$$\dot x=v\cos\theta,\qquad \dot y=v\sin\theta,\qquad \dot\theta=\omega$$

车体侧向速度必须为零：

$$-\sin\theta\,\dot x+\cos\theta\,\dot y=0$$

这是瞬时速度约束。车头朝向 θ = 0 时，确实不能直接产生 ẏ；但可以先改变车头方向，再前进或后退。它一般不能被等价地写成一个仅约束当前位置的方程 h(x,y,θ)=0，因此属于非完整约束。

这个模型允许原地转向与倒退，不是带最小转弯半径的汽车模型。不同平台要从各自的轮式约束重新建模。

6. 四段运动，把横向位移算出来

从 (0, 0, 0) 开始，按顺序执行四段运动。转向时位置不变，直行时朝向不变。

取 a = 0.6 m、b = 0.45 rad，最后得到：

$$(x,y,\theta)\approx(0.05973,\,-0.26098,\,0)$$

朝向回来了，位置却没有回来。这里有明显的负 y 位移，同时仍有约 0.06 m 的正 x 位移；有限步长的四段运动不是精确的纯横移。

点击“下一步”，依次观察这组固定参数下的中间状态与终点；用“上一步”和“重置”对照动作前后。每一段都满足不能侧滑的约束，但整段路径积累出一开始无法瞬时产生的横向位移。

7. Lie 括号：给“先后顺序产生的方向”命名

把前进和转向的向量场分别写成：

$$g_1=\begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\\0\end{bmatrix}, \qquad g_2=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$$

采用括号约定 [g₁,g₂] = Dg₂·g₁ − Dg₁·g₂，直接求导得到：

$$[g_1,g_2]=\begin{bmatrix}\sin\theta\\-\cos\theta\\0\end{bmatrix}$$

在起点 θ = 0，它指向负 y，正好对应上述“前进—左转—倒退—右转”的净位移主方向。交换动作顺序或交换括号的次序，方向符号也会改变。

当 b 很小时，sin b ≈ b、1 − cos b ≈ b²/2，所以：

$$\Delta y\approx-ab,\qquad \Delta x\approx\frac{ab^2}{2}$$

若 a、b 都按小量 ε 缩小，横向主效应是二阶量，纵向残差是三阶量。这解释了为什么反复组合小动作可以积累侧向效果，也说明不能把有限转角时的近似当成精确公式。

在这个允许正反控制的无漂移模型中，前进、转向和括号方向能张成三个配置方向。它揭示了运动的可达能力；碰撞、转角与速度限制、执行误差等仍需在具体规划和控制中处理。

8. 两组练习，分别检查力与运动

1. 两指例子中取 a = 0.5 m，把内部夹紧力从 λ = 2 N 增加到 λ = 3 N，物体合力旋量怎样变化？若指尖摩擦系数为 0.4，法向力为 2 N 时能否支持 1 N 切向力？
2. 小车四段动作保持 a = 0.6 m，把左转角改为 b = −0.45 rad，终点的哪一项变号？把 b 改为 0 又会怎样？

本篇使用原创数值例子与推导，对应 Murray、Li、Sastry 教材的多指手运动学和非完整运动主题。作者版本页面提供原书及勘误。