迭代学习控制 02：从单关节到画圆与柔性末端抑振

同一个学习更新，放到单关节、两连杆画圆、带柔性输出的运动上，会产生什么不同现象？本篇把每轮的参考、实际输出、学习补偿和误差保留下来，让“逐次改善”成为可以检查的数据。先观察，再解释曲线，最后尝试故意把学习步长调得过大。

前置：01 ILC 原理 · 后续：03 工程集成 · 数学关联：机械臂动力学与控制

1. 页面显示的是什么实验

页面读取已经计算好的教学数据。选择学习档位、拖动轮次滑杆，或使用前后切换与重置，是在比较对应的预计算结果；页面不自动播放，浏览器也不实时训练机器人。三个模型均以关节参考修正为学习量，单位是 rad，反馈控制的效果已经包含在闭环伺服等效模型里。

它们用于解释 ILC 的时间对齐、学习步长和重复条件，不含 ROS 接口或真实硬件连接，也不是 FANUC 商用学习控制算法的复现。每轮都重新设置全部内部初态，参考轨迹、扰动和采样设置保持相同；实验没有加入随机测量噪声。

每种档位从 k = 0 的零学习补偿开始，最多进行 20 次更新；第 20 轮已经使用了更新 20 次后的补偿。采样点显示在 dt、2dt……T；初始 t = 0 状态单独定义，不应把第一个已采样输出当成初态。

2. 三组实验共用的学习步骤

本篇数据把学习修正记为 u_k，它就是原理篇的 f_k。送给等效闭环伺服的是：

$$c_k=r+u_k,\qquad e_k=r-y_k.$$

整轮完成后，用有限时域输入输出映射的转置更新：

$$u_{k+1}=u_k+\alpha P^Te_k.$$

这里的 P 是零初态下“参考修正到输出”的映射；实际运行的非零初态单独计入输出。学习器使用的模型与生成输出的模型一致，所以这是理想、可重复条件下的教学对照。

实际实验没有额外的 Q 滤波器，也没有正则化项。 它采用平方跟踪误差的梯度更新，不求解原理篇介绍的完整 norm-optimal 子问题。把后面的改善归因于“Q 滤波”或“在线辨识”都会读错实现。

三个档位的区别如下：

B 是 ‖P‖₂² 的保守上界，来自有限时域脉冲响应；λ_est 是幂迭代得到的谱估计，不能把它当作认证的上界。两关节实验对整体分块对角映射使用同一个 α，上界取两个通道的较大值。

默认、保守档的结论针对全时域角度误差二范数。它不自动保证最大误差、某一时刻误差、末端位置误差或单独的停稳窗口指标也逐轮下降。

激进档若出现输出角或修正幅值超过 20 rad，会保留触发阈值的有限数值轮次，再停止后续更新；曲线没有被截成“看起来稳定”的形状。非有限候选数据则不输出。这个阈值只是教学计算保护，不是机器人关节限位或硬件安全策略。

3. 实验一：学会补偿单关节的重复滞后

把闭环伺服简化成时间常数 τ = 0.14 s 的一阶系统。它能跟随参考，但参考变化较快时会滞后。实际计算使用一阶系统的离散更新：

$$\begin{aligned} a&=\exp(-\Delta t/\tau),\\ x[n+1]&=a x[n]+(1-a)(r[n]+u_k[n]),\\ y_k[n]&=x[n+1]+d[n]. \end{aligned}$$

第 n 个命令作用后才记录输出，图中 r[n]、y[n] 对齐到显示时刻 t = (n + 1)Δt；数组从 n = 0 开始，但第一个输出时间为 Δt。每轮初态为 x[0] = 0。用于观察的平滑角度参考为：

$$r(t)=0.65\sin\frac{2\pi t}{5}\,\sin^2\frac{\pi t}{5}.$$

每轮还加入同一段输出扰动：

$$d(t)=0.025\sin\frac{2\pi t}{5} +0.008\sin\frac{6\pi t}{5}\quad\mathrm{rad}.$$

这个扰动直接加在输出上，用来表示可重复偏差；它没有被宣称为某个真实电机的摩擦或重力力矩。

先选第 0 轮，比较参考与实际曲线。然后查看后续轮次：补偿不再为零，变化的位置应当与原先的误差及系统的延迟有关。补偿曲线和误差曲线不必完全同形，因为在较早时刻修改输入，会影响后面的多个采样点。

再切到保守档，用相同轮次与默认档比较。最后观察激进档：短时间内误差小一点，不意味着后面也会保持改善；不能只截取最好看的前几轮。

这一组最值得回答的问题是：“学到的是一个固定角度偏置，还是一条随时间变化的修正？”直接看补偿曲线就能判断。

4. 实验二：关节角误差怎样让圆变形

两段杆长都为 1 m。参考圆心为 (0.85, 0.4) m，半径为 0.35 m；使用五次平滑时间标度，在前 4.8 s 走完一圈，随后保持到 6 s。

先通过 2R 逆运动学得到固定肘部分支的关节参考，再分别经过时间常数为 0.10 s、0.16 s 的一阶闭环伺服。两个输出角加入固定的小幅重复扰动后，再代入正运动学：

$$\begin{aligned} x&=\cos q_1+\cos(q_1+q_2),\\ y&=\sin q_1+\sin(q_1+q_2). \end{aligned}$$

因此，同样大小的关节角误差，在不同姿态下会转化成不同方向和大小的末端偏差。局部近似就是前一专题讲过的 Δp ≈ J_p(q)Δq。

这一实验使用两个独立的关节等效伺服加正运动学，不包含完整的耦合刚体动力学、重力、接触与电机转矩控制。看到机械臂图形，并不意味着后台正在求解完整机器人动力学。

建议按这个顺序检查：

1. 在第 0 轮看实际轨迹与参考圆是否重合。
2. 选择后续轮次，同时比较两关节角误差和末端位置误差。
3. 分清“沿圆迟到”和“偏离圆形”：同一时刻的位置距离会同时受到二者影响。

这里的 positionRms 是每个采样时刻实际末端与同一时刻参考点的欧氏距离 RMS，单位为米。它不是实际点到整条圆曲线的最短距离，也不是 ISO 重复定位精度。

5. 实验三：已经停下来，为什么还在摆

本组把时间常数 0.08 s 的驱动伺服，与一个低阻尼二阶角度输出串联。柔性部分的连续原型是：

$$\ddot q+2\zeta\omega_n\dot q+\omega_n^2q=\omega_n^2c,$$

其中 c 是驱动角，q 是柔性输出角，原型参数为 ω_n = 8 rad/s、ζ = 0.07。程序对驱动采用精确一阶离散，对柔性部分采用半隐式 Euler 更新：先更新角速度，再用新角速度更新角度。学习与执行使用同一个离散模型，不能把绘制的数据当作连续方程的解析解，也不能把原型频率直接当成离散轨迹的精确振动频率。完整递推式记在仓库的 docker/iterative-learning-lab/README.md。

参考在 0.4 s 开始上升，经过 1.2 s 的五次平滑过渡达到 0.7 rad；从 1.6 s 到 6 s 保持不变。初始驱动角、柔性输出角和输出角速度每轮都重置为零，未加入额外输出扰动。

要分别看两个阶段：运动段内，输出能否跟上参考；保持段内，即使目标不再变化，输出是否还在目标附近来回波动。ILC 可以利用前一轮的振动规律修改整段输入，使后续输出更接近目标，但它没有改变模型的物理阻尼比。

两个保持段指标回答不同问题：

峰峰值很小的曲线，也可能停在错误的位置，因此要和误差 RMS 一起看。相反，全程 RMS 下降，也不意味着每个停止阶段的振动峰值都必然下降。

这里的驱动角和柔性输出角单位都是 rad。它是展示残余振动机制的等效模型，没有建立实际长工具的形状、柔性模态位移或空间末端加速度；不能把图里的数值直接换算成 FANUC 末端振动毫米数。

6. 指标应该怎样比较

设第 k 轮有 N 个采样点、m 个角度通道，页面的全程角度 RMS 为：

$$\mathrm{RMS}_k=\sqrt{\frac{1}{Nm} \sum_{n=0}^{N-1}\sum_{j=1}^{m}e_{k,j}[n]^2}.$$

最大绝对误差则取所有采样和通道中最大的 |e|。两者可能给出不同排序：RMS 小，说明总体误差能量低；某一次短促尖峰却可能仍然很大。学习补偿幅值也要一起观察，避免只看输出，忽略为了获得改善而付出的命令变化。

同一实验比较档位时应使用相同轮次和相同指标。不同实验之间，关节角 rad、末端位置 m 和保持段波动是不同的量，不能直接凭数值大小排“谁控制得更好”。

本次预计算数据的实际结果

下表来自页面使用的完整 JSON 数据，数据版本为 finite-horizon-reference-ilc-v1；比较默认档的第 0 轮与第 20 轮，数值按显示精度取舍。

单关节和 2R 能取得很小的数值，依赖于模型完全已知、初态完全重复且没有测量噪声等理想条件；这不是实体机器人达到相应精度的证据。柔性系统学得更慢，也提醒我们不能把同样的轮次数当成同样的学习难度。

激进档的结果保留了失败现象：第 20 轮的全程角度 RMS，单关节为 1.23960 rad，2R 为 1.15867 rad，柔性为 0.972321 rad，都大于各自基线。当前这三组数据均完成了 20 次更新，没有触发提前停止；“未越过 20 rad 计算阈值”显然不等于“学习有效”。

7. 与工业机器人的联系

本篇保留了三件与工程相关的事情：保存整轮误差、根据输入输出关系更新下一轮命令、验证更新后的结果。真正的工业实现还需要处理测量时间戳、模型误差、反馈带宽、限幅和运行条件变化，详见工程集成篇。

可以用两类一手资料对照本实验：

• FANUC M20iA 的 AILC 动态路径实验：使用 C-Track 780 外部测量，关注真实 TCP 位置和姿态，与本页关节等效模型不同。
• 柔性物体搬运的学习控制研究：把学习模型与点到点轨迹设计结合，处理柔性物体残余振动；研究算法和本页的简单梯度更新也不相同。

论文中的改善结果依赖各自平台、轨迹和对照条件，不应拿来当作这三个教学模型的实测性能。

8. 自己解释三条曲线

练习 A： 两个独立关节的全程角度 RMS 降低后，末端同一时刻的位置 RMS 是否一定按相同比例降低？

练习 B： 柔性输出在保持段完全不振，但一直停在 0.65 rad，目标为 0.7 rad。两个保持段指标分别说明什么？

练习 C： 把已学好的补偿用于更重的工具，或只把动作时间缩短一半，能否根据本页曲线直接保证仍然改善？

回看原理篇，把每个实验里的参考、误差、学习变量、映射 P 与步长一一对上；再进入工程集成。