迭代学习控制 01：把上一轮的误差变成下一轮的补偿

机器人反复执行同一条轨迹，每次都在相近的时刻落后、过冲或振动。普通反馈能在当次发现误差后纠正；迭代学习控制（Iterative Learning Control，ILC）还会保存这次经历，提前修正下一次的输入。先从“第三次为什么可以比第一次更准”入手，再理解学习律、收敛条件和它真正能改善的精度。

本系列依次阅读：01 原理 → 02 三组可观察的实验 → 03 工程集成。动力学基础可先看从虚功到动力学与控制。

1. 两条时间轴：这次几点，已经做了几次

假设机械臂每次用 3 秒完成同一个动作。在第 1 次动作的 t = 0.8 s，末端开始出现可重复的滞后。即使反馈控制器参数不变，第 2 次也可以在这个时刻之前加入合适补偿。

这里必须分开两个下标：

ILC 的“学习”发生在重复轴上。反馈处理本轮正在发生的偏差，ILC 利用已经完成的整轮数据修正下一轮；两者可以协作。它也不要求必须使用神经网络。经典 ILC 的未知量经常就是一整条补偿信号。Bristow、Tharayil、Alleyne，2006 综述

2. 先用三行数值看一次学习

暂时把动态系统缩成一个便于手算的静态例子：

$$y_k=0.8(1+f_k)-0.1,\qquad r=1,\qquad f_0=0.$$

把所有角度都按弧度理解，0.8 是简化增益，−0.1 是每次相同的偏差。这是说明更新方向的玩具模型，不是后文机械臂实验的动力学。

取学习规则 f_(k+1) = f_k + 0.5 e_k：

每次输出偏小，就把下一次命令适当增加。这里误差每轮乘以 1 − 0.8 × 0.5 = 0.6，因此逐渐缩小。若把学习增益随意放大，误差因子的绝对值可能超过 1，反而越学越差。动态系统还多了时延和相位问题，不能仅凭“把当前误差加回去”就保证改善。

3. 通用学习律里，L 和 Q 各做什么

一种常见的表达是：

$$f_{k+1}=Q\bigl(f_k+Le_k\bigr).$$

这是对整段信号的运算。L 是学习算子，用上一轮误差生成修正；Q 是作用于候选补偿的滤波或整形算子。二者都不必只是一个常数。

如果在某一时刻增加命令，要过一段时间才影响输出，学习算子就要考虑这种对应关系。上一轮的全部数据已经保存，可以用后面的误差修正下一轮较早的输入；这并没有预知下一轮的随机未来。离线零相位滤波也基于同样的原因可用。

Q 常用于限制不可靠的高频学习，避免把测量噪声、未建模振动一起积累进补偿。但过滤信息也会留下误差，不能同时默认“强滤波”和“任意轨迹零误差”。

学习信号加在哪里取决于系统接口：可以修正位置参考，也可以修正速度或转矩前馈。本系列网页实验学习的是关节参考修正，单位为 rad。 其内侧使用闭环伺服的等效模型，不应把这段修正直接当成电机转矩。

4. 把整轮数据排成向量

一次动作采样 N 次，把同一关节的 N 个补偿值堆叠成向量 f。对于固定初态、固定任务、轮次间不变的线性等效模型，可以写成：

$$y_k=b+Pf_k,\qquad e_k=r-b-Pf_k.$$

b 包含不加学习补偿时的输出以及固定的初态、重复扰动影响；P 表示整段补偿怎样影响整段输出。这种把时间序列堆成有限维向量的方法称为 lifted／有限时域表示。

矩阵的第 j 列回答：“只在第 j 个采样点增加一点输入，后面各时刻会受到什么影响？”因此真实的动态 P 通常不是对角矩阵。输入输出有延迟时，还要处理时间对齐、不可直接影响的起始输出和末端边界，不能忽略它们后强行求逆。

若增加一段候选补偿 Δf，预测下一轮误差为：

$$e_{\mathrm{next}}=e_k-P\Delta f.$$

这一行把控制问题变成了“选怎样的一组修正，可以同时降低整条轨迹的误差”。

5. 最优子问题和梯度更新不是同一种算法

一种 norm-optimal ILC 思路是为下一轮选择修正，同时惩罚误差与过大的更新。例如：

$$\min_{\Delta f}\ \frac{1}{2}\|e_k-P\Delta f\|_2^2 +\frac{\mu}{2}\|\Delta f\|_2^2,\qquad\mu>0.$$

在这个无约束线性二次子问题里，最优修正满足：

$$(P^TP+\mu I)\Delta f=P^Te_k.$$

实际应求解线性系统，而不是显式计算大矩阵的逆。如果还限制位置、速度、补偿幅值，通常要解带约束的优化问题；若模型只在当前轨迹附近有效，也需要限制更新范围。

另一种更简单的办法是对整段补偿的目标函数做一次梯度下降：

$$\mathcal J(f)=\frac{1}{2}\|r-b-Pf\|_2^2 +\frac{\lambda}{2}\|f\|_2^2,$$

$$f_{k+1}=f_k+\eta\bigl(P^Te_k-\lambda f_k\bigr).$$

Pᵀe 把各输出时刻的误差汇总回对其有影响的输入时刻。这里的转置来自对平方误差求导，不意味着“把系统反着运行”，也不是直接使用 P⁻¹。

网页中的更新应以实验篇公布的模型和参数为准；不能因为都叫 ILC，就把不同论文的保证套到同一个实现上。

6. 收敛条件真正保证了什么

先只讨论上一节的理想线性梯度例子：P 已知且每轮不变，初态和重复偏差相同，测量无噪声，暂不施加幅值限制。令 λ > 0，则目标函数的 Hessian 为：

$$H=P^TP+\lambda I.$$

当 0 < η < 2 / λ_max(H) 时，这个正定二次目标上的梯度迭代收敛到唯一最小点。这里保证的是所定义的总目标函数；由于它同时惩罚补偿幅值，最终跟踪误差不一定为零。

这和“机器人每次跑都更好”之间还隔着条件。模型不准会让计算方向偏离真实梯度；噪声会进入更新；限幅会改变算法；学习曲线即使最终下降，也可能先出现不允许的中间峰值。数学上的渐近收敛，也不自动等于每一轮的最大轨迹误差都单调下降。

针对不同的模型、学习律、范数、约束与初态，收敛结论需要分别推导。较新的ILC 算法与应用教程也明确区分单轮时间行为、轮次间收敛以及各种假设的放宽。

7. 哪些误差适合学习，哪些需要别的方法

“重复任务”不只是路径形状相同。经典时间参数化 ILC 还要求轨迹的时间安排有足够一致性；同一个圆若转速改变，直接按旧时间表播放补偿可能不再合适。

8. 重复定位、路径准确度与时间跟踪误差

重复定位精度关注相同测试条件下多次到达同一目标时，实际落点聚得有多紧。定位准确度还关心这些点整体离目标多远。一个机器人可能每次都稳定停在目标右侧 0.5 mm：重复性很好，却仍然有系统偏差。

运动过程中还要区分路径几何偏差和时间跟踪误差。一台机器人沿正确的圆走，但始终晚半拍，几何路径可以接近正确；与同一时刻的参考点比较，误差仍然很大。评价 ILC 时应说清楚测量的是关节误差、TCP 同时刻位置误差、轮廓误差，还是停止后的振动。

FANUC 的 Learning Vibration Control 资料展示了利用重复执行进行振动补偿的产品思路；2024 年的一项独立研究则在 FANUC M20iA 上结合外部 C-Track 780 测量研究动态路径学习。两者关注点和实现依据不同，不应把外部研究算法当作厂家商用控制器源码，也不能把抑振等同于绝对定位标定。FANUC 中文资料、M20iA 实验论文

9. 带着问题阅读，再做三道检查

推荐按这个顺序读：

1. Bristow 等，2006 综述：先理解反馈与 ILC 的配合，以及 L、Q、噪声和鲁棒性。
2. Shu 等，2024，FANUC M20iA 实验：重点检查测量装置、误差定义、对照实验和使用条件。
3. Ronzani、Mamedov、Swevers，柔性物体学习控制：观察抑振如何与模型、运动轨迹和约束联系起来。
4. Arimoto、Kawamura、Miyazaki，1984：回看利用上一轮运动误差改进下一轮输入的早期构造；该论文给出的是数值仿真验证。

检查 A： 手算例子的学习增益从 0.5 改成 3，会发生什么？

检查 B： 同一时间点每轮的测量误差都来自独立、零均值噪声，把它无限累加到补偿中合理吗？

检查 C： 关节编码器跟踪误差很小，就能认定夹爪的绝对位置准确吗？

接下来打开三组实验，同时观察参考、实际、补偿和误差曲线，检查“学习发生在哪里”。